domingo, 20 de diciembre de 2015

CONDICION CINEMATICA DE RIGIDEZ

Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos o partículas materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.
Para cada pareja de puntos pertenecientes al sólido rígido, la (Pi,Pj) por ejemplo, podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [1.1], que derivada con respecto al tiempo nos conduce a
(1) \frac{d}{dt} \left[(\mathbf r_i-\mathbf r_j)^2\right]= 2(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\cdot\left(\frac{d\mathbf r_i}{dt}-\frac{d\mathbf r_j}{dt}\right)=0
que también podemos escribir en la forma
(2)\mathbf r_{ij} \cdot \mathbf v_{ij}=0
donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi con respecto a la Pj. La ec. [2] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo vector con sus extremos fijos en el sólido rígido (ya que el rij es válido para cualquier par de puntos constituyentes del sólido) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).
La ec. [2] puede escribirse en la forma
(3)\mathbf r_{ij} \cdot \mathbf v_i=\mathbf r_{ij} \cdot \mathbf v_j
o también
(4) \frac{\mathbf r_{ij}}{r_{ij}} \cdot \mathbf v_i= \frac{\mathbf r_{ij}}{r_{ij}} \cdot \mathbf v_j
ecuación que expresa la igualdad entre las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pj sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidez que se enuncia así:
Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes al sólido rígido dan la misma proyección sobre la recta que los une.
Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso del movimiento de éste, ya que al ser siempre sus velocidades iguales en la recta que los une, es imposible que alguno se acerque al otro.
El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación.

entrada de Unknown @ 21:02   0 comentarios

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